Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD，BE相交于點P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．

（1）求證：BE＝AD；

（2）求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）7．

【解析】試題分析：（1）根據等邊三角形的三條邊都相等可得AB=CA，每一個角都是60°可得∠BAE=∠ACD=60°，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△CAD全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）根據全等三角形對應角相等可得∠CAD=∠ABE，然后求出∠BPQ=60°，再根據直角三角形兩銳角互余求出∠PBQ=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BP=2PQ，再根據AD=BE=BP+PE代入數據進行計算即可得解．

試題解析：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC．

又∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE＝∠CAD，BE＝AD．

（2）∵∠BPQ＝∠BAP＋∠ABE＝∠BAP＋∠PAE＝∠BAC＝60°，又∵BQ⊥PQ，∴∠PBQ＝30°，∴PB＝2PQ＝6，∴BE＝PB＋PE＝7，∴AD＝BE＝7．