Question

【題目】△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，∠A＝∠D＝90°，△DEF的頂點E位于邊BC的中點上．

（1）如圖1，設DE與AB交于點M，EF與AC交于點N，求證：△BEM∽△CNE；

（2）如圖2，將△DEF繞點E旋轉，使得DE與BA的延長線交于點M，EF與AC交于點N，于是，除（1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2）能，△ECN∽△MEN，見解析.

【解析】

（1）由△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，易得∠BME＝∠NEC，又由∠B=∠C=45°，即可證得△BEM∽△CNE；
（2）與（1）同理△BEM∽△CNE，可得，又由BE=EC，即可得，然后由∠ECN=∠MEN=45°，證得△ECN∽△MEN．

證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠MBE＝45°，∴∠BME+∠MEB＝135°

又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°

∴∠NEC+∠MEB＝135°

∴∠BME＝∠NEC，

而∠B＝∠C＝45°，

∴△BEM∽△CNE．

（2）與（1）同理△BEM∽△CNE，

∴．

又∵BE＝EC，

∴，

在△ECN與△MEN中有，

又∠ECN＝∠MEN＝45°，

∴△ECN∽△MEN．