Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=5，AC=9，S△ABC=，動點P從A點出發，沿射線AB方向以每秒5個單位的速度運動，動點Q從C點出發，以相同的速度在線段AC上由C向A運動，當Q點運動到A點時，P、Q兩點同時停止運動，以PQ為邊作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆時針排序），以CQ為邊在AC上方作正方形QCGH．

（1）求tanA的值；

（2）設點P運動時間為t，正方形PQEF的面積為S，請探究S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值，若不存在，請說明理由；

（3）當t為何值時，正方形PQEF的某個頂點（Q點除外）落在正方形QCGH的邊上，請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在．S最小值=；（3）t1=；t2=；t3=1，t4=．

【解析】

試題（1）如圖1，過點B作BM⊥AC于點M，利用面積法求得BM的長度，利用勾股定理得到AM的長度，最后由銳角三角函數的定義進行解答；

（2）如圖2，過點P作PN⊥AC于點N．利用（1）中的結論和勾股定理得到PN2+NQ2=PQ2，所以由正方形的面積公式得到S關于t的二次函數，利用二次函數的頂點坐標公式和二次函數圖象的性質來求其最值；

（3）需要分類討論：當點E在邊HG上、點F在邊HG上、點P邊QH（或點E在QC上）、點F邊C上時相對應的t的值．

試題解析：解：（1）如圖1，過點B作BM⊥AC于點M，

∵AC=9，S△ABC=，

∴ACBM=，即×9BM=，

解得BM=3．

由勾股定理，得

AM===4，

則tanA==；

（2）存在．

如圖2，過點P作PN⊥AC于點N．

依題意得AP=CQ=5t．

∵tanA=，

∴AN=4t，PN=3t．

∴QN=AC﹣AN﹣CQ=9﹣9t．

根據勾股定理得到：PN2+NQ2=PQ2，

S正方形PQEF=PQ2=（3t）2+（9﹣9t）2=90t2﹣162t+81（0＜t＜）．

∵﹣==在t的取值范圍之內，

∴S最小值===；

（3）

①如圖3，當點E在邊HG上時，t1=；

②如圖4，當點F在邊HG上時，t2=；

③如圖5，當點P邊QH（或點E在QC上）時，t3=1

④如圖6，當點F邊C上時，t4=．