Question

小明在研究直角三角形的邊長時，發現了下面的式子：
①當三邊長分別為3、4、5時，3²+4²=5²；②當三邊長分別為6、8、10時，6²+8²=10²；③當三邊長分別為5、12、13時，5²+12²=13²； …
（1）從中小明發現了一個規律：在直角△ABC中，若∠B=90°，則它的三邊長滿足

 

．
（2）已知長方形ABCD中AB=8，BC=5，E是AB的中點，點F在BC上，△DEF的面積為16，求點D到直線EF的距離．

Answer 1

分析：（1）根據題中已知式子，歸納總結出直角三角形三邊的平方關系為兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即可得出直角△ABC的三邊長滿足的關系式；
（2）要求D到直線EF的距離，即為三角形DEF的邊EF上的高，根據三角形EDF的面積為16，所以只需求出EF的長度，利用三角形的面積公式即可求出，由E為AB的中點，設BF為x，則CF=5-x，然后利用x，根據三角形的面積公式分別表示出△DCF，△AED，及三角形EFB的面積，根據三角形DEF的面積為16和矩形的面積為40，由矩形的面積等于圖中四個三角形的面積之和列出關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，然后利用勾股定理求出EF，利用三角形的面積公式即可求出D到直線EF的距離．

解答：解：（1）根據①當三邊長分別為3、4、5時，3²+4²=5²；
②當三邊長分別為6、8、10時，6²+8²=10²；
③當三邊長分別為5、12、13時，5²+12²=13²； …得到一個規律，直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和，
則在直角△ABC中，若∠B=90°，則它的三邊長滿足：AB²+BC²=AC²；

（2）設BF=x，則CF=5-x，S_△DCF=

1

2

DC•CF=

8(5-x)

2

=20-4x，S_△BEF=

4x

2

=2x，S_△DAE=

5×4

2

=10
而S_△DEF=16，且矩形ABCD的面積為5×8=40，
所以（20-4x）+2x+10+16=40，解得x=3，
則根據勾股定理得：EF=

32+42

=5，設D到直線EF的距離為d，
所以

1

2

×5d=16，
解得d=

32

5

．
故答案為：AB²+BC²=AC²．

點評：此題考查學生靈活運用三角形的面積公式化簡求值，掌握矩形的性質及勾股定理的運用，理解點到直線的距離的定義，是一道綜合題．