Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB邊上一點，EF⊥CE交AD于點F，過點E作∠AEH=∠BEC，交射線FD于點H，交射線CD于點N．

（1）如圖a，當點H與點F重合時，求BE的長；

（2）如圖b，當點H在線段FD上時，設BE=x，DN=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出它的定義域；

（3）連接AC，當△FHE與△AEC相似時，求線段DN的長．

Answer 1

【答案】（1）BE=3；（2）y=2x﹣4（2≤x≤3）；（3）DN的長為或1．

【解析】

（1）由已知條件證明BE=BC即可求出BE的長；

（2）過點E作EG⊥CN，垂足為點G，利用矩形的性質和等腰三角形的性質證明CN=2CG=2BE，即可得到y與x之間的函數關系式；

（3）首先證明∠HFE=∠AEC，當△FHE與△AEC相似時，再分∠FHE=∠EAC和∠FHE=∠ECA兩種情況求出滿足題意的DN的值即可．

（1）∵EF⊥EC，

∴∠AEF+∠BEC=90°．

∵∠AEF=∠BEC，

∴∠AEF=∠BEC=45°．

∵∠B=90°，

∴BE=BC．

∵BC=3，

∴BE=3；

（2）過點E作EG⊥CN，垂足為點G，

∴四邊形BEGC是矩形，

∴BE=CG．

∵AB∥CN，

∴∠AEH=∠ENC，∠BEC=∠ECN．

∵∠AEH=∠BEC，

∴∠ENC=∠ECN，

∴EN=EC，

∴CN=2CG=2BE．

∵BE=x，DN=y，CD=AB=4，

∴y=2x﹣4（2≤x≤3）；

（3）∵∠BAD=90°，

∴∠AFE+∠AEF=90°．

∵EF⊥EC，

∴∠AEF+∠CEB=90°，

∴∠AFE=∠CEB，

∴∠HFE=∠AEC，

當△FHE與△AEC相似時，分兩種情況討論：

①若∠FHE=∠EAC．

∵∠BAD=∠B，∠AEH=∠BEC，

∴∠FHE=∠ECB，

∴∠EAC=∠ECB，

∴tan∠EAC=tan∠ECB，

∴．

∵AB=4，BC=3，

∴BE=．

∵設BE=x，DN=y，y=2x﹣4，

∴DN=；

②若∠FHE=∠ECA，如所示，設EG與AC交于點O．

∵EN=EC，EG⊥CN，

∴∠1=∠2．

∵AH∥EG，

∴∠FHE=∠1，

∴∠FHE=∠2，

∴∠2=∠ECA，

∴EO=CO．

設EO=CO=3k，則AE=4k，AO=5k，

∴AO+CO=8k=5，

∴k=，

∴AE=，BE=，

∴DN=1．

綜上所述：線段DN的長為或1時，△FHE與△AEC相似．