Question

【題目】如圖，E是矩形ABCD邊AD上一點，以DE為直徑向矩形內部作半圓O，AB=4，OD=2，點G在矩形內部，且∠GCB=30°，GC=2，過半圓弧（含點D，E）上動點P作PF⊥AB于點F．當△PFG是等邊三角形時，PF的長是___．

Answer 1

【答案】4或6

【解析】

分兩種情況：①作輔助線，構建直角三角形和等邊三角形，先根據直角三角形30°的性質求GN的長，再證明D、P、G在一直線上，得△ODP是等邊三角形，則PQ=，由此求出等邊三角形PFG的高線GH的長，最后利用特殊的三角函數值求出邊長．

②同理可得結論．

分兩種情況：

①當P在正方形內部時，如圖1，過G作GH⊥PF于H，交AD于M，BC于N，

∵△PFG是等邊三角形，

∴∠PGH=∠PGF=×60°=30°，

Rt△CGN中，∵∠GCB=30°，CG=2，

∴GN=CG=，

∠CGN=60°，

∴∠CGP=180°-30°-60°=90°，

延長GP交直線CD于D′，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BCD=90°，

∴∠DCG=60°，

∴∠CD′G=30°，

∴D′C=2CG=4，

∵CD=AB=4，

∴D與D′重合，

∴∠ADG=60°，

連接OP，過P作PQ⊥AD于Q，

∵OD=OP=2，

∴△ODP是等邊三角形，

∴PQ=，

∴GH=4--=2，

Rt△PHG中，cos30°=，

∴PG=，

∴PF=PG=4，

②當P與D重合，則F與A重合，如圖2，

過G作MN⊥BC，交AD于M，交BC于N，

若△PFG是等邊三角形時，同理得：GN=，∠DGM=30°，

則MG=3，

∴DG=6，DM=3，

∴AD=6，

即PF=6，

綜上所述，PF為4或6，

故答案為：4或6．