Question

【題目】如圖，AB是⊙的直徑，CD是∠ACB的平分線交⊙O于點D，過D作⊙O的切線交CB的延長線于點E．若AB=4，∠E=75°，則CD的長為（ ）
A.
B.2
C.2
D.3

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如圖連接OC、OD，CD與AB交于點F．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴ = ，
∴OD⊥AB，
∵DE是切⊙O切線，
∴DE⊥OD，
∴AB//DE，∵∠E=75°，
∴∠ABC=∠E=75°，∠CAB=15°，
∴∠CFB=∠CAB+∠ACF=15°+45°=60°，
∴∠OFD=∠CFB=60°，
在RT△OFD中，∵∠DOF=90°，OD=2，∠ODF=30°，
∴OF=ODtan30°= ，DF=2OF= ，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=30°，
∵∠COB=∠CAB+∠ACO=30°，
∴∠FOC=∠FCO，
∴CF=FO= ，
∴CD=CF+DF=2 ，
故選C．
如圖連接OC、OD，CD與AB交于點F．首先證明∠OFD=60°，再證明∠FOC=∠FCO=30°，求出DF、CF即可解決問題．