Question

已知拋物線，
（1）若求該拋物線與x軸的交點坐標；
（2）若 ，證明拋物線與x軸有兩個交點；
（3）若且拋物線在區間上的最小值是-3，求b的值.

Answer 1

（1）（-1，0）和（，0）；（2）證明見解析；（3）3或．

解析試題分析：（1）將a、b、c的值代入，可得出拋物線解析式，從而可求解拋物線與x軸的交點坐標.
（2）把代入拋物線解析式，表示出方程的判別式的表達式，利用配方法及完全平方的非負性即可判斷出結論.
（3），則拋物線可化為，其對稱軸為x=-b，以-1≤x≤2為區間，討論b的取值，根據最小值為-3，可得出方程，求出b的值即可．
（1）當時，拋物線為，
∵方程的兩個根為x₁=-1，x₂=，
∴該拋物線與x軸交點的坐標是（-1，0）和（，0）.
（2）當時，拋物線，
設y=0，則，
∴，
∴拋物線與x軸有兩個交點.
（3），則拋物線可化為，其對稱軸為x=-b，
當-b＜-2時，即b＞2，則有拋物線在x=-2時取最小值為-3，
此時-3=（-2）²+2×（-2）b+b+2，
解得：b=3，符合題意.
當-b＞2時，即b＜-2，則有拋物線在x=2時取最小值為-3，
此時-3=2²+2×2b+b+2，
解得：b=，不合題意，舍去．
當-2≤-b≤2時，即-2≤b≤2，則有拋物線在x=-b時取最小值為-3，
此時-3=（-b）²+2×（-b）b+b+2，
化簡得：b²-b-5=0，
解得：b₁=（不合題意，舍去），b₂=.
綜上可得：b=3或b=．
考點：1.拋物線與x軸的交點；2.二次函數的最值；3.分類思想的應用．