Question

已知二次函數的圖象經過A（2，0）、C（0，12）兩點，且對稱軸為直線x=4．設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B．
（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標；
（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒

2

個單位長度的速度由點P向點O 運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N．將△PMN沿直線MN對折，得到△P₁MN．在動點M的運動過程中，設△P₁MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒．求S關于t的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）利用對稱軸公式，A、C兩點坐標，列方程組求a、b、c的值即可；
（2）存在．由（1）可求直線PB解析式為y=2x-12，可知PB∥OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四邊形的情形；
（3）由P（4，-4）可知直線OP解析式為y=-x，當P₁落在x軸上時，M、N的縱坐標為-2，此時t=2，按照0＜t≤2，2＜t＜4兩種情形，分別表示重合部分面積．

解答：解：（1）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c
由題意得

- b 2a =4 c=12 4a+2b+c=0

，
解得

a=1 b=-8 c=12

，
∴二次函數的解析式為y=x²-8x+12，
點P的坐標為（4，-4）；

（2）存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形．理由如下：
當y=0時，x²-8x+12=0，
∴x₁=2，x₂=6，
∴點B的坐標為（6，0），
設直線BP的解析式為y=kx+m
則

6k+m=0 4k+m=-4

，
解得

k=2 m=-12

∴直線BP的解析式為y=2x-12
∴直線OD∥BP，
∵頂點坐標P（4，-4），
∴OP=4

2

設D（x，2x）則BD²=（2x）²+（6-x）²
當BD=OP時，（2x）²+（6-x）²=32，
解得：x₁=

2

5

，x₂=2，
當x₂=2時，OD=BP=2

5

，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去，
∴當x=

2

5

時四邊形OPBD為等腰梯形，
∴當D（

2

5

，

4

5

）時，四邊形OPBD為等腰梯形；

（3）①當0＜t≤2時，
∵運動速度為每秒

2

個單位長度，運動時間為t秒，則MP=

2

t，
∴PH=t，MH=t，HN=

1

2

（4-t），
∴MN=MH+HN=2+

1

2

t，
∴S=（2+

1

2

t）•t•

1

2

=

1

4

t²+t；
②當2＜t＜4時，P₁G=2t-4，P₁H=t，
∵MN∥OB
∴△P₁EF∽△P₁MN，
∴

S△P1EF

S△P1MN

=(

P1G

P1H

)2，
∴

S△P1EF

3 4 t2

=(

2t-4

t

)2，
∴S△P1EF=3t²-12t+12，
∴S=

3

4

t²-（3t²-12t+12）=-

9

4

t²+12t-12，
∴當0＜t≤2時，S=

3

4

t²，
當2＜t＜4時，S=-

9

4

t²+12t-12．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．求出二次函數解析式，研究二次函數的頂點坐標及相關圖形的特點，是解題的關鍵．