Question

【題目】如圖，已知Rt△ACE中，∠AEC=90°，CB平分∠ACE交AE于點B，AC邊上一點O，⊙O經過點B、C，與AC交于點D，與CE交于點F，連結BF。

（1）求證：AE是⊙O的切線；

（2）若，AE=8，求⊙O的半徑；

（3）在(2)條件下，求BF的長。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2） （3）

【解析】

(1) 連接OB,根據OB=OC得出∠1=∠2，再根據CB平分∠ACE，得出∠2=∠3，再利用平行線的性質求解即可;(2) 連接DF,根據同弧所對圓周角相等得出∠CDF=∠CBF，再利用直徑所對的圓周角為90°，得出∠DFC=90°，由OB//CE，得出△AOB∽△ACE，利用相似三角形的性質，列出方程求解即可;(3) 先證出△ACB∽△BCF，再利用相似三角形的性質得出=，進而求出結果.

（1）證明：如圖1，連接OB，

∵OB=OC，∴∠1=∠2，

∵CB平分∠ACE，∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，∴OB∥CE，

∴∠ABO=∠AEC=90°，即OB丄AE，

∴AE是⊙0的切線；

（2）如圖2，連接DF，

∵∠CDF和∠CBF是同弧所對圓周角，

∴∠CDF=∠CBF，

∵CD是⊙O的直徑，∴∠DFC=90°，

∴DF//AE，∴∠A=∠CDF，∴∠A=∠CBF，

∵cos∠CBF=，∴cosA=，

在Rt△ACE中AE=8，∴AC=10，CE=6，

由（1）可知OB//CE，∴△AOB∽△ACE，

∴，

設⊙O的半徑為x，則，

解得x=，∴⊙O的半徑為；

（3）在Rt△AOB中AO=10-=，cos A=，∴AB=5，

在Rt△DCF中CD=，cos∠CDF=cos∠CBF=，∴CF=，

∵∠A=∠CBF，∠2=∠3，

∴△ACB∽△BCF，

∴=，

∴，

解得，BC=，BF=.