Question

【題目】如圖①所示，ABCD是某公園的平面示意圖，A、B、C、D分別是該公園的四個入口，兩條主干道AC、BD交于點O，經測量AB=0.5km，AC=1.2km，BD=1km，請你幫助公園的管理人員解決以下問題：

（1）公園的面積為　　　　km2；

（2）如圖②，公園管理人員在參觀了武漢東湖綠道后，為提升游客游覽的體驗感，準備修建三條綠道AN、MN、CM，其中點M在OB上，點N在OD上，且BM=ON（點M與點O、B不重合），并計劃在△AON與△COM兩塊綠地所在區域種植郁金香，求種植郁金香區域的面積；

（3）若修建（2）中的綠道每千米費用為10萬元，請你計算該公園修建這三條綠道投入資金的最小值．

Answer 1

【答案】（1）0.48；（2）0.12km2；（3）（+5）萬元．

【解析】

（1）過點B作BE⊥OA于點E，由平行四邊形的性質得出AB=BO=0.5km，AO=0.6km，運用勾股定理求出BE的長，再運用三角形面積公式求出△AOB的面積，再乘以4即可得解；

（2）連接AM、CN，得出S△AMN=SABCD，由平行四邊形ABCD的面積為0.48km2可得結果；

（3）將AN沿MN向下平移0.5km至PM，連接PC交BD于點M'，此時點N位于N'處，此時即為AN+CM=PC取最小值，過M作MG⊥AC于點G，證明四邊形APM'N'和四邊形AM'CN'均為平行四邊形，得到PC=2M'C，求出MC=可得PC的值， 從而得AN、MN、CM和的最小值為：（+0.5）km，再乘以每千米的費用即可得到答案.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=1.2km，BD=1km，

∴OA=OC=AC=0.6km，OB=OD=BD=0.5km，

∴在△AOB中，過點B作BE⊥OA于點E，如圖：

∵AB=OB=0.5km，OA=0.6km，BE⊥OA，

∴AE=OA=0.3km，

∴BE==0.4km，

∴S△AOB=OABE=×0.6×0.4=0.12km2，

∴SABCD=4S△AOB=4×0.12=0.48km2；

∴公園的面積為0.48km2．

故答案為：0.48．

（2）連接AM、CN，如圖：

∵在△ACM中，OA=OC，

∴S△COM=S△AOM，

∴S△AON+S△COM=S△AON+S△AOM=S△AMN．

∵OB=BM+MO，BM=ON，OB=OD=BD，

∴MN=MO+ON=OB=BD，

∴S△AMN=SABCD=0.12km2，

∴S△AON+S△COM=S△AMN=0.12km2，

∴種植郁金香區域的面積為0.12km2．

（3）將AN沿MN向下平移0.5km至PM，連接PC交BD于點M'，此時點N位于N'處，此時即為AN+CM=PC取最小值，過M'作M'G⊥AC于點G，如圖：

∵MN=BD=0.5km，AP∥M'N'，AN'∥PC，

∴OM'為△APC的中位線，

∴OM'=AP=M'N'=ON'=km，

∴四邊形APM'N'和四邊形AM'CN'均為平行四邊形，

∴PC=2M'C，

由圖①及BE=0.4km，OB=0.5km可知，sin∠BOA=，cos∠BOA=，

∴，，

∴，

∴，

∴在Rt△M'GC中，由勾股定理得：，

∴PC=km，

∴AN、MN、CM和的最小值為：（+0.5）km，

∴投入資金的最小值為：10×（+0.5）=（+5）（萬元）．