Question

【題目】對于平面直角坐標系中的任意兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），我們把|x1-x2|+|y1-y2|叫P，Q兩點間的“平面距離”，記作d（P，Q）。

（1）已知O為坐標原點，動點M（x，y）是坐標軸上的點，滿足d（O，M）=l，請寫出點M的坐標。答： ________；

（2）設P0（x0，y0）是平面上一點，Q0（x，y）是直線l：y=kx+b上的動點，我們定義d（P0，Q0）的最小值叫做P0到直線l的“平面距離”。試求點M（2，1）到直線y=x+2的“平面距離”。

（3）在上面的定義基礎上，我們可以定義平面上一條直線l與⊙C的“直角距離”：在直線l與⊙C上各自任取一點，此兩點之間的“平面距離”的最小值稱為直線l與⊙O的“平面距離”，記作d（l，⊙C）。

試求直線y=x+2與圓心在直角坐標系原點、半徑是1的⊙O的直角距離d（l，⊙O）=__________。（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）點M的坐標為（0，1），（0，-1），（1，0），（-1，0）

（2）點M（2，1）到直線y=x+2的平面距離為3；

（3）d（l，⊙O）=2-

【解析】分析：（1）根據題中所給出的兩點的平面距離公式即可得出結論；

（2）根據坐標原點O點坐標為（0，0），再由兩點的平面距離公式即可得出結論；（3）先根據題意得出關于x的式子，再由絕對值的幾何意義即可得出結論．

本題解析：（1）（0，1），（0，-1），（1，0），（-1，0）

（2）設Q0（x，y）為直線y=x+2上任意一點，

∵d（M，Q0）=|x-2|+|y-1|

=|x-2|+|x+2-1|

=|x-2|+|x+l|

∵x可取一切實數，|x-2|+|x+1|表示數軸上實數x所對應的點到數2和-1所對應的點的距離之和，其最小值為3。

∴點M（2，1）到直線y=x+2的平面距離為3。

（3）d（l，⊙O）=2-。