Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)F，使DF=CD，連接AC、CE、EF、AF.

（1）求證：四邊形ACEF是矩形；

（2）求四邊形ACEF的周長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2+2

【解析】

（1）由DE=AD，DF=CD，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形ACEF是平行四邊形，繼而由四邊形ABCD為菱形，可以推導(dǎo)得到AE=CF，問(wèn)題即可得到證明；

（2） 由三角形ADC為等邊三角形，得到AC=AB=1，利用矩形的性質(zhì)可得∠ACE=90，繼而可得∠AEC=30，根據(jù)30度角的直角三角形的性質(zhì)可得AE=2AC=2，繼而根據(jù)勾股定理求得CE長(zhǎng)，根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式即可得答案.

(1)∵DE=AD，DF=CD，

∴四邊形ACEF是平行四邊形，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD=CD，

∴DE=AD=DF=CD ，

∴AE=CF，

∴四邊形ACEF是矩形，

(2)∵菱形ABCD，

∴∠ADC=∠B=60，AD=AB=1，

∵AD=CD，

∴△ACD是等邊三角形，

∴AC=AD=1，∠CAD=60，

∵矩形ACEF，

∴∠ACE=90，

∴∠AEC=30，

∴AE=2AC=2，CE= ，

∴四邊形ACEF的周長(zhǎng)為：2(AC+CE) =2+2.