Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE．

（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）求證：BC²=CD•2OE；

（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的長．

 

Answer 1

（1）證明：連接OD，BD，

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，

∴CE=DE=BE=BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，

∴DE為⊙O的切線；

（2）證明：∵E是BC的中點，O點是AB的中點，

∴OE是△ABC的中位線，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴=，即BC²=AC•CD．

∴BC²=2CD•OE；

（3）解：∵cos∠BAD=，

∴sin∠BAC==，

又∵BE=6，E是BC的中點，即BC=12，

∴AC=15．

又∵AC=2OE，

∴OE=AC=．