Question

【題目】如圖，正方形BCPQ對角線交于點A，將一塊等腰直角三角形中45°角的頂點放在A點，斜邊AG所在的直線交BC于點D，直角邊AH所在的直角交BC于點E．
（1）在邊BC上取一點M，連接AM，AD平分∠BAM，求證：AE平分∠MAC；
（2）在（1）的條件下，請判斷BD、CE、DE之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠DAE=45°，

∴∠DAM+∠EAM=45°，

在正方形BCPQ中，BP⊥CQ，∴∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=45°，

∴∠DAM+∠EAM=∠BAD+∠EAC

AD平分∠BAM，

∴∠BAD=∠DAM

∴∠EAM=∠EAC 即AE平分∠MAC．

（2）解：結論：BD2+CE2=DE2．

證明：延長AM到點F，使AF=AB，

在正方形BCPQ中，AB=AC，∠BAC=90°，

∴AF=AC，∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠BAD=∠DAM 由（1）知，∠EAM=∠EAC，

又AF=AF，

∴△FAD≌△BAD，△FAE≌△CAE，

∴∠AFD=∠ABC=45°，DF=BD，∠AFE=∠ACB=45°，EF=EC，

∴∠DFE=90°，

在Rt△DEF中，DF2+EF2=DE2，

∴BD2+CE2=DE2．

【解析】（1）只要證明∠DAM+∠EAM=∠BAD+∠EAC，由AD平分∠BAM，可得∠BAD=∠DAM即可推出∠EAM=∠EAC．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°)，還要掌握正方形的性質(正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形)的相關知識才是答題的關鍵．