Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上一點，點F在射線CM上,∠AEF=90°，AE=EF，過點F作射線BC的垂線，垂足為H，連接AC.

(1) 試判斷BE與FH的數量關系，并說明理由；

(2) 求證：∠ACF=90°；

(3) 連接AF，過A，E，F三點作圓，如圖2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的長.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）BE="FH" ；理由見解析

（2）證明見解析

（3）=2π

【解析】

試題（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH

（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，從而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH為45°，而∠ACB也為45°，從而可證明

（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直徑，設圓心為O，連接EO，過點E作EN⊥AC于點N，則可得△ECN為等腰直角三角形，從而可得EN的長，進而可得AE的長，得到半徑，得到所對圓心角的度數，從而求得弧長

試題解析：（1）BE=FH。理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形 ∴∠B=90°，

∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°

又∵∠AEF=90° ∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°

∴∠HEF=∠BAE ∴ ∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF

∴△ABE≌△EHF（SAS）

∴BE=FH

(2)∵△ABE≌△EHF

∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"

∴CH=FH

∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°

∵AC是正方形對角線，∴ ∠ACD=45°

∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°

（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形

△AEF外接圓的圓心在斜邊AF的中點上。設該中點為O。連結EO得∠AOE=90°

過E作EN⊥AC于點N

Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=

Rt△ENA中，EN =

又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°（等弧對等角）

∴∠EAC=30°

∴AE=

Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8

AE所在的圓O半徑為4，其所對的圓心角為∠AOE=90°

=2π·4·（90°÷360°）=2π