Question

【題目】已知：如圖，在中，，以為直徑作分別交，于點，，連接和，過點作，垂足為，交于點．

（1）求證：；

（2）若，求線段的長；

（3）在的條件下，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）．

【解析】

(1)根據圓周角定理可得∠ADB＝90°，由等腰三角形三線合一可得∠ABD＝∠CBD，又AD、DE是兩角對應的弦，所以可證AD＝DE；(2)先證△CED∽△CAB，再根據相似三角形的性質和已知邊長求得CD；(3)在Rt△ABD中由勾股定理求得BD，根據角相等，可證△BPE∽△BED，利用相似性質求得BP，進一步求得DP，根據等高三角形面積比等于底邊的比，可得S△BCD：S△BPE＝DP：BP＝13:32，,S△BDE：S△BCD＝BE：BC＝4:5，再根據三角形面積公式即可求解.

(1)證明：∵是的直徑，

∴，

∵，

∴是的中點，，

∴；

（2）∵四邊形內接于，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，是的中點，

∴；

（3）延長交于，

，

在中，，，

∴，

∵，是的直徑，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴．