Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，AB是⊙C的切線，切點為D，直線AC交⊙C于點E、F，且CF= AC．
（1）求∠ACB的度數；
（2）若AC=8，求△ABF的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接CD，

∵AB是⊙C的切線，

∴CD⊥AB，

∵CF= AC，CF=CE，

∴AE=CE，

∴ED= AC=EC，

∴ED=EC=CD，

∴∠ECD=60°，

∴∠A=30°，

∵AC=BC，

∴∠ACB=120°．

（2）解：在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=8，

∴AD=4 ，CD=4，

∴AB=2AD=8 ．

作FM⊥AB交AB于M，

∵CD⊥AB，

∴△ACD∽△AFM，

∴ ，

即 ，

∴FM=6，

∴△ABF的面積= ×ABFM= ×8 ×6=24 ，

【解析】（1）連接DC，根據AB是⊙C的切線，所以CD⊥AB，根據CD= ，得出∠A=30°，因為AC=BC，從而求得∠ACB的度數．（2）解直角三角形求得AD，進而求得AB，作FM⊥AB交AB于M，證得△ACD∽△AFM，根據相似三角形的性質求得FM，即可求得三角形的面積．
【考點精析】通過靈活運用切線的性質定理，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑即可以解答此題．