Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，正方形OABC的頂點A、C分別在x軸與y軸上，已知正方形邊長為3，點D為x軸上一點，其坐標為（1，0），連接CD，點P從點C出發以每秒1個單位的速度沿折線C→B→A的方向向終點A運動，當點P與點A重合時停止運動，運動時間為t秒．

（1）連接OP，當點P在線段BC上運動，且滿足△CPO≌△ODC時，求直線OP的表達式；

（2）連接PC，求△CPD的面積S關于t的函數表達式；

（3）點P在運動過程中，是否存在某個位置使得△CDP為等腰三角形，若存在，直接寫出點P的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=3x；（2）S=；（3）滿足條件的點P坐標為（2，3）或（3，）或（3，2）或（3，）．

【解析】

(1) 四邊形ABCO是正方形, 可得COD=∠OCP, OC=CO繼而證明△CPO≌△ODC, 可得P點坐標，即可確定OP解析式;

(2) 分當點P在線段BC上時，當點P在線段AB上時兩種情況討論即可;

(3) 存在, 分別以DC=DP1, DC=DP2, CD=CP3, P4C=P4D四種情況考慮, 利用勾股定理及圖形與坐標性質求出P坐標即可.

（1）∵四邊形ABCO是正方形，

∴∠COD=∠OCP，∵OC=CO，

∴當CP=OD=1時，△CPO≌△ODC，

∴P（1，3），

設直線OP的解析式為y=kx，則有3=k，

∴直線OP的解析式為y=3x．

（2）當點P在線段BC上時，如圖1中，

S=CPCO=t（0＜t≤3），

當點P在線段AB上時，如圖2中，

BP=t﹣3，AP=3﹣（t﹣3）=6﹣t，

S=3×3﹣×1×3﹣×3×（t﹣3）﹣×2×（6﹣t）=﹣t=6（3＜t≤6），

綜上所述，S=．

（3）如圖3中，

①當DC=DP1時，P1（2，3），

②當DC=DP2時，AP2==，

∴P2（3，）．

③當CD=CP3=時，BP3==1，

∴P3（3，2）．

④當P4C=P4D時，設AP4=a，

則有22+a2=32+（3﹣a）2，

解得a=，

∴P4（3，），

綜上所述，滿足條件的點P坐標為（2，3）或（3，）或（3，2）或（3，）．