Question

【題目】如圖所示，是外一點(diǎn)，，分別和切于，兩點(diǎn)，是上任意一點(diǎn)，過(guò)作的切線分別交，于，．

若的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為________；

連接、，若，則的度數(shù)為________度．

Answer 1

【答案】5, 115

【解析】

（1）由于PA、PB、DE都是⊙O的切線，可根據(jù)切線長(zhǎng)定理將△PDE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為切線PA、PB的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可證得△PEF 周長(zhǎng)等于2PA即可求解；根據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和定理即可求得∠AOB的度數(shù)，然后根據(jù)∠EOF=∠AOB即可求出∠BCA的度數(shù)．

（1）∵PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，

∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；

∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10；

∴PA=PB=5；

（2）連接OA、OB、AC、BC，在⊙O上取一點(diǎn)F，連接AF、BF，

∵PA、PB分別切⊙O于A、B；

∴∠PAO=∠PRO=90°，

∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°，

∴∠AFB=∠AOB=65°，

∵∠AFB+∠BCA=180°，

∴∠BCA=180°-65°=115°，

故答案是：5，115°．