Question

【題目】閱讀發現：（1）如圖①，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，連結CD，AE．易證：△BCD≌△BAE．（不需要證明）

提出問題：（2）在（1）的條件下，當BD∥AE時，延長CD交AE于點F，如圖②，求AF的長．

解決問題：（3）如圖③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，連結CD，AE．當∠BAE=45°時，點E到AB的距離EF的長為2，求線段CD的長為 ．

Answer 1

【答案】（2）AF=2﹣1；

（3）．

【解析】

試題分析：（2）由△BCD≌△BAE，得到∠OAF=∠OCB，根據“8字型”證明∠AFO=∠CBO=90°，在RT△BDC中利用勾股定理求出CD，再證明BD=EF即可解決問題．

（3）根據兩邊成比例夾角相等兩三角形相似，可以證明△ABE∽△CBD，得，再求出AE即可解決問題．

試題解析：（2）如圖②中，AB與CF交于點O．

由（1）可知：△BCD≌△BAE，

∴∠OAF=∠OCB，CD=AE，∵∠AOF=∠COB，

∴∠AFO=∠CBO=90°，

∴CF⊥AE，∵BD∥AE，

∴BD⊥CF，

在RT△CDB中，∵∠CDB=90°，BC=3，BD=1，

∴CD=AE==2，

∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°，

∴四邊形EFDB是矩形，

∴EF=BD=1，

∴AF=AE﹣EF=2﹣1．

（3）在RT△ABC，RT△EBD中，∵∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，

∴AB=BC，BE=BD，

∴，

∵∠ABC=∠EBD=90°，

∴∠ABE=∠DBC，

∴△ABE∽△CBD，

∴，

在RT△AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，EF=2，

∴AF=EF=2，AE=2，

∴，

∴CD=．

故答案為．