Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，AC為對角線，AB=6，BC=8，點M是AD的中點，P、Q兩點同時從點M出發，點P沿射線MA向右運動；點Q沿線段MD先向左運動至點D后，再向右運動到點M停止，點P隨之停止運動．P、Q兩點運動的速度均為每秒1個單位．以PQ為一邊向上作正方形PRLQ．設點P的運動時間為t（秒），正方形PRLQ與△ABC重疊部分的面積為S．

（1）當點R在線段AC上時，求出t的值．

（2）求出S與t之間的函數關系式，并直接寫出取值范圍．（求函數關系式時，只須寫出重疊部分為三角形時的詳細過程，其余情況直接寫出函數關系式．）

（3）在點P、點Q運動的同時，有一點E以每秒1個單位的速度從C向B運動，當t為何值時，△LRE是等腰三角形．請直接寫出t的值或取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）t=；

（2）S與t之間的函數關系式為：．

（3）t的取值范圍是4≤t≤8時，△LRE是等腰三角形；當t=4s，或t=8s或s或s時，△LRE是等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）根據三角形相似可得，即，解答即可；

（2）根據點P和點Q的運動情況分情況討論解答即可；

（3）根據△LRE是等腰三角形滿足的條件．

試題解析：（1）當點R在線段AC上時，應該滿足：，

設MP為t，則PR=2t，AP=4﹣t，

∴可得：，即，

解得：t=；

（2）當時，正方形PRLQ與△ABC沒有重疊部分，所以重疊部分的面積為0；

當時，正方形PRLQ與△ABC重疊部分的面積為直角三角形KRW的面積=，

；

當時，正方形PRLQ與△ABC重疊部分的面積=×（2t﹣3）2t=2t2﹣3t．

當3＜t≤4時，正方形PRLQ與△ABC重疊部分的面積=×（12﹣2t）×2t=﹣2t2+12t．

當4＜t≤8時，正方形PRLQ與△ABC重疊部分的面積為S=；

綜上所述S與t之間的函數關系式為：．

（3）在點P、點Q運動的同時，有一點E以每秒1個單位的速度從C向B運動，

①當點E是BC的中點時，點E在LR的中垂線線上時，EL=ER．此時t=4s，△LRE是等腰三角形；

當點E與點B重合時，點E在LR的中垂線線上時，EL=ER．此時t=8s，△LRE是等腰三角形；

綜上所述，t的取值范圍是4≤t≤8；

②當EL=LR時，如圖所示：

LR=2t，CF=NL=4﹣t，則EF=2t﹣4．FL=CN=6﹣2t，

則在直角△EFL中，由勾股定理得到：EL2=EF2+FL2=（2t﹣4）2+（6﹣2t）2．

故由EL=LR得到：EL2=LR2，即4t2=10t2﹣40t+52，

整理，得

t2﹣10t+13=0，

解得 t1=5+2（舍去），t2=5﹣2．

所以當t=5﹣2（s）時，△LRE是等腰三角形；

同理，當ER=LR時，．

綜上所述，t的取值范圍是4≤t≤8時，△LRE是等腰三角形；當t=4s，或t=8s或s或s時，△LRE是等腰三角形．

考點;四邊形綜合題．