Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC上一點(diǎn)，以AB，BD為鄰邊作ABDE，連接AD，EC．

（1）求證：△ADC≌△ECD；
（2）若BD=CD，求證：四邊形ADCE是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形（已知），

∴AB∥DE，AB=DE（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等）；

∴∠B=∠EDC（兩直線平行，同位角相等）；

又∵AB=AC（已知），

∴AC=DE（等量代換），∠B=∠ACB（等邊對(duì)等角），

∴∠EDC=∠ACD（等量代換）；

∵在△ADC和△ECD中，

，

∴△ADC≌△ECD（SAS）；

（2）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形（已知），

∴BD∥AE，BD=AE（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等），

∴AE∥CD；

又∵BD=CD，

∴AE=CD（等量代換），

∴四邊形ADCE是平行四邊形（對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；

在△ABC中，AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性質(zhì)），

∴∠ADC=90°，

∴ADCE是矩形．

【解析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)易得對(duì)邊平行且相等，又由等邊對(duì)等角，可得兩個(gè)三角形有兩組對(duì)邊相等且夾角相等，可判定兩個(gè)三角形全等。
（2）由四邊形ABDE是平行四邊形易得四邊形ADCE是平行四邊形，在利用等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”可得∠ADC=90°，最終可得ADCE是矩形.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的矩形的判定方法，需要了解有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形才能得出正確答案．