Question

如圖，二次函數y=x²+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點，并經過B點，已知A點坐標是（2，0），B點的坐標是（8，6）．
（1）求二次函數的解析式．
（2）求函數圖象的頂點坐標及D點的坐標．
（3）該二次函數的對稱軸交x軸于C點．連接BC，并延長BC交拋物線于E點，連接BD，DE，求△BDE的面積．
（4）拋物線上有一個動點P，與A，D兩點構成△ADP，是否存在S_△ADP=S_△BCD？若存在，請求出P點的坐標；若不存在．請說明理由．

Answer 1

（1）二次函數解析式為：y=x²﹣4x+6；
（2）函數圖象的頂點坐標為（4，﹣2），點D的坐標為（6，0）；
（3）△BDE的面積為7.5．
（4）存在，P₁（4+，），P₂（4﹣，），P₃（3，﹣），P₄（5，﹣）．

試題分析：（1）利用待定系數法求出b，c即可求出二次函數解析式；
（2）把二次函數式轉化可直接求出頂點坐標，由A對稱關系可求出點D的坐標；
（3）由待定系數法可求出BC所在的直線解析式，與拋物線組成方程求出點E的坐標，利用△BDE的面積=△CDB的面積+△CDE的面積求出△BDE的面積；
（4）設點P到x軸的距離為h，由S_△ADP=S_△BCD求出h的值，根據h的正，負值求出點P的橫坐標即可求出點P的坐標．
試題解析：（1）∵二次函數y=x²+bx+c的圖象過A（2，0），B（8，6）
∴，解得
∴二次函數解析式為：y=x²﹣4x+6；
（2）由y=x²﹣4x+6，得y=（x﹣4）²﹣2，
∴函數圖象的頂點坐標為（4，﹣2），
∵點A，D是y=x²+bx+c與x軸的兩個交點，
又∵點A（2，0），對稱軸為x=4，
∴點D的坐標為（6，0）；
（3）∵二次函數的對稱軸交x軸于C點．
∴C點的坐標為（4，0）
∵B（8，6），
設BC所在的直線解析式為y=kx+b，
∴解得
∴BC所在的直線解析式為y=x﹣6，
∵E點是y=x﹣6與y=x²﹣4x+6的交點，
∴x﹣6=x²﹣4x+6
解得x₁=3，x₂=8（舍去），
當x=3時，y=﹣3，
∴E（3，﹣），
∴△BDE的面積=△CDB的面積+△CDE的面積=×2×6+×2×=7.5．
（4）存在，
設點P到x軸的距離為h，
∵S_△BCD=×2×6=6，S_△ADP=×4×h=2h，
∵S_△ADP=S_△BCD
∴2h=6×，解得h=，
當P在x軸上方時，
=x²﹣4x+6，解得x₁=4+，x₂=4﹣，
當當P在x軸下方時，
﹣=x²﹣4x+6，解得x₁=3，x₂=5，
∴P₁（4+，），P₂（4﹣，），P₃（3，﹣），P₄（5，﹣）．