Question

如圖1，矩形OABC頂點B的坐標為（8，3），定點D的坐標為（12，0），動點P從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運動，動點Q從點D出發，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的負方向勻速運動，PQ兩點同時運動，相遇時停止．在運動過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR．設運動時間為t秒．
（1）當t=　  　時，△PQR的邊QR經過點B；
（2）設△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S，求S關于t的函數關系式；
（3）如圖2，過定點E（5，0）作EF⊥BC，垂足為F，當△PQR的頂點R落在矩形OABC的內部時，過點R作x軸、y軸的平行線，分別交EF、BC于點M、N，若∠MAN=45°，求t的值．

Answer 1

(1)1秒
(2)
(3)t的值為（8﹣2）

試題分析：（1）△PQR的邊QR經過點B時，△ABQ構成等腰直角三角形，則有AB=AQ，由此列方程求出t的值；
（2）在圖形運動的過程中，有三種情形，需要分類討論，避免漏解；
（3）由已知可得ABFE為正方形；其次通過旋轉，由三角形全等證明MN=EM+BN；設EM=m，BN=n，在Rt△FMN中，由勾股定理得到等式：mn+3（m+n）﹣9=0，由此等式列方程求出時間t的值．
試題解析：（1）△PQR的邊QR經過點B時，△ABQ構成等腰直角三角形，
∴AB=AQ，即3=4﹣t，
∴t=1．
即當t=1秒時，△PQR的邊QR經過點B．
（2）①當0≤t≤1時，如答圖1﹣1所示．

設PR交BC于點G，
過點P作PH⊥BC于點H，則CH=OP=2t，GH=PH=3．
S=S_矩形OABC﹣S_梯形OPGC
=8×3﹣（2t+2t+3）×3
=﹣6t+；
②當1＜t≤2時，如答圖1﹣2所示．

設PR交BC于點G，RQ交BC、AB于點S、T．
過點P作PH⊥BC于點H，則CH=OP=2t，GH=PH=3．
QD=t，則AQ=AT=4﹣t，
∴BT=BS=AB﹣AQ=3﹣（4﹣t）=t﹣1．
S=S_矩形OABC﹣S_梯形OPGC﹣S_△BST
=8×3﹣（2t+2t+3）×3﹣（t﹣1）²
=﹣t²﹣5t+19；
③當2＜t≤4時，如答圖1﹣3所示．

設RQ與AB交于點T，則AT=AQ=4﹣t．
PQ=12﹣3t，∴PR=RQ=（12﹣3t）．
S=S_△PQR﹣S_△AQT
=PR²﹣AQ²
=（12﹣3t）²﹣（4﹣t）²
=t²﹣14t+28．
綜上所述，S關于t的函數關系式為：
．
（3）∵E（5，0），∴AE=AB=3，
∴四邊形ABFE是正方形．
如答圖2，將△AME繞點A順時針旋轉90°，得到△ABM′，其中AE與AB重合．
∵∠MAN=45°，∴∠EAM+∠NAB=45°，
∴∠BAM′+∠NAB=45°，
∴∠MAN=∠M′AN．
連接MN．在△MAN與△M′AN中，

∴△MAN≌△M′AN（SAS）．
∴MN=M′N=M′B+BN
∴MN=EM+BN．

設EM=m，BN=n，則FM=3﹣m，FN=3﹣n．
在Rt△FMN中，由勾股定理得：FM²+FN²=MN²，即（3﹣m）²+（3﹣n）²=（m+n）²，
整理得：mn+3（m+n）﹣9=0．  ①
延長MR交x軸于點S，則m=EM=RS=PQ=（12﹣3t），
∵QS=PQ=（12﹣3t），AQ=4﹣t，
∴n=BN=AS=QS﹣AQ=（12﹣3t）﹣（4﹣t）=﹣t+2．
∴m=3n，
代入①式，化簡得：n²+4n﹣3=0，
解得n=﹣2+或n=﹣2﹣（舍去）
∴2﹣t=﹣2+
解得：t=8﹣2．
∴若∠MAN=45°，則t的值為（8﹣2）秒．