Question

【題目】如圖1，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點，過點B作⊙O的切線，與CA的延長線相交于點E，F是BE的中點，延長AF與CB的延長線相交于點P．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）如圖2，若AD⊥BC于點D，連接CF與AD相交于點G．求證：AG=GD；

（3）在（2）的條件下，若FG=BF，且⊙O的半徑長為，求BD的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析；

（3）BD的長度為

【解析】試題分析：（1）根據切線判定知道EB⊥BC，而AD⊥BC，從而可以確定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又G是AD的中點，就可得出結論BF=EF．（2）要證PA是 O的切線，就是要證明∠PAO=90°連接AO，AB，根據第1的結論和BE是 O的切線和直角三角形的等量代換，就可得出結論．（3）點F作FH⊥AD于點H，根據前兩問的結論，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD和FG的長度．

試題解析：（1）證明：連結．

是⊙O的直徑， ．

在中，因為是斜邊的中點，

． ．

又， ．

是⊙O的切線， ．

，

是⊙O的切線．

（2）證明：

又， ．

易證， ．

．

∵BF=EF

．

（3）解：過點作于點．

四邊形是矩形， ．

由（1），∵BE=AF=FE．

．

，

．

，

，即．

∵四邊形是矩形，

∴FH∥BC

∴．

∵，

∴CF=3FG.

在Rt△FBC中，

∵CF=3FG，BF=FG，

∴CF2=BF2+BC2∴(3FG)2=FG2+(6)2

解得FG=3(負值舍去)

∴FG=3.