Question

（2012•惠山區(qū)一模）如圖在三角形紙片ABC中，已知∠ABC=90°，AC=5，BC=4，過(guò)點(diǎn)A作直線l平行于BC，折疊三角形紙片ABC，使直角頂點(diǎn)B落在直線l上的點(diǎn)P處，折痕為MN，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)M、N也隨之移動(dòng)，若限定端點(diǎn)M、N分別在AB、BC邊上移動(dòng)，則線段AP長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為

7

-1

．

Answer 1

分析：關(guān)鍵在于找到兩個(gè)極端，即AP取最大或最小值時(shí)，點(diǎn)M或N的位置．經(jīng)實(shí)驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)，分別求出點(diǎn)M與A重合時(shí)，AP取最大值3和當(dāng)點(diǎn)N與C重合時(shí)，AP的最小值4-

7

所以可求線段AP長(zhǎng)度的最大值與最小值之差．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥直線l交l于點(diǎn)D，
則四邊形ABCD為矩形，通過(guò)操作知，當(dāng)折疊過(guò)點(diǎn)A時(shí)，即點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，AP的值最大，
此時(shí)記為點(diǎn)P₁，易證四邊形ABNP₁為正方形，
由于AC=5，BC=4，
故AB=

AC2-BC2

=

52-42

=3，
當(dāng)折疊MN過(guò)點(diǎn)C時(shí)，AP的值最小，此時(shí)記為點(diǎn)P₂，
由于P₂C=BC=4，AB=CD=3，
故P₂D=

42-32

=

7

，
故此時(shí)AP₂=AD-P₂D=4-

7

，
線段AP長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為：3-（4-

7

）=3-4+

7

=

7

-1．
故答案為：

7

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的動(dòng)手能力及圖形的折疊、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，難度稍大，學(xué)生主要缺乏動(dòng)手操作習(xí)慣，單憑想象容易造成錯(cuò)誤．