Question

【題目】如圖1，正方形ABCD中，點E、F分別在邊DC、AD上，且AE⊥BF于G．

（1）求證：BF=AE；
（2）如圖2，當點E在DC延長線上，點F在AD延長線上時，（1）中結論是否成立？（直接寫結論）

（3）在圖2中，若點M、N、P、Q分別為四邊形AFEB四條邊AF、EF、EB、AB的中點，且AF：AD=4：3，求S四邊形MNPQ：S正方形ABCD ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ADC=90°．

∴∠DAE+∠BAE=90°．

∵AE⊥BF，

∴∠AGB=90°，

∴∠GAB+∠GBA=90°，

∴∠DAE=∠ABG．

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（ASA），

∴BF=AE；

（2）

解：）結論成立 即AE=BF．

理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ADC=90°．

∴∠DAE+∠BAE=90°．

∵AE⊥BF，

∴∠AGB=90°，

∴∠GAB+∠GBA=90°，

∴∠DAE=∠ABG．

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（ASA），

∴BF=AE；

（3）

解：∵AF：AD=4：3，設AF=4a，AD=3a，

∴DF=a．

∵△ABF≌△DAE，

∴AF=DE，

∴AF﹣AD=DE﹣DC，

∴DF=CE，

∴CE=a．

∵點M、N、P、Q分別為四邊形AFEB四條邊AF、EF、EB、AB的中點，

∴MN是△AEF的中位線，MQ是△ABF的中位線，

∴MN= AE，MN∥AE，MQ= BF，MQ∥BF．

∴MN=MQ．∠MNP=∠NPQ=∠PQM=90°，

∴四邊形MNPQ是正方形．

在Rt△ABF中，由勾股定理，得

BF=5a．

∴MN=MQ= ．

∴S四邊形MNPQ= ．

∵S正方形ABCD=9a2，

∴S四邊形MNPQ：S正方形ABCD= ：9a2=25：36．

答：S四邊形MNPQ：S正方形ABCD=25：36．

【解析】（1）根據正方形的性質就可以求出△ABF≌△DAE，就可以得出結論；（2）根據正方形的性質就可以求出△ABF≌△DAE就可以得出BF=AE；（3）根據條件可以設AF=4a，AD=3a，就可以求出DF=CE=a，由勾股定理就可以求出AE，由中位線的性質就可以求出MN的值，表示出正方形MNPQ的面積，就可以求出結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解正方形的性質(正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形)．