Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點P是邊AD上的動點（點P不與點A、點D重合），點Q是邊CD上一點，連接PB、PQ，且∠PBC＝∠BPQ．

⑴ 若tan∠PBC=4，求AP的長；

⑵ 是否存在點P，使得點Q恰好是邊CD的中點？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由．⑶ 連接BQ，在△PBQ中是否存在度數不變的角？若存在，指出這個角，并求出它的度數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】⑴ ⑵存在AP=⑶ 存在，∠PBQ=45°

【解析】(1)根據∠PBC+∠ABP=∠ABP+∠APB=90°得出∠APB=∠PBC ，再由tan∠PBC=tan∠APB=4= ；(2) 延長PQ交BC延長線于點E．設PD=x,由 ∠PBC=∠BPQ ，可得EB=EP ，再由△PDQ≌△ECQ 得到QP= ，在Rt△PDQ中根據勾股定理可得出結論;(3) 作BH⊥PQ于點,易證，△PAB≌△PHB，可得∠PBH=∠ABH，再由 Rt△BHQ≌Rt△BCQ，可得∠HBQ=∠HBC，進而得出結論即可.

(1)∵∠PBC+∠ABP=∠ABP+∠APB=90°, ∴∠APB=∠PBC=90°,在RT△ABP中，tan∠PBC=tan∠APB=4=;

⑵如圖1，存在

延長PQ交BC延長線于點E．設PD=x．

∵∠PBC=∠BPQ，

∴EB=EP．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∴∠DPQ=∠E，.

在△PDQ和△ECQ中，，

∴△PDQ≌△ECQ（AAS）.

∴PD=CE，PQ=QE． ∴BE=EP=， ∴QP=．

在Rt△PDQ中，∵PD2+QD2=PQ2，

∴，解得

∴AP=AD﹣PD=.

⑶存在，∠PBQ=45°．作于點．

易證，△PAB≌△PHB，

∴∠ABP=∠HBP， ∴∠PBH=∠ABH．

易證，Rt△BHQ≌Rt△BCQ，

∴∠HBQ=∠CBQ， ∴∠HBQ=∠HBC，

∴∠PBQ=∠PBH+∠HBQ=（∠ABH+∠HBC）=∠ABC=45°．