Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，折痕為EC，連接AP并延長AP交CD于F點，連接CP并延長CP交AD于Q點．給出以下結論：①四邊形AECF為平行四邊形；②∠PBA＝∠APQ；③△FPC為等腰三角形；④△APB≌△EPC；其中正確結論的個數為( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據三角形內角和為180°易證∠PAB+∠PBA=90°，可證四邊形AECF為平行四邊形；
②根據平角定義得∠APQ+∠BPC=90°，再加上正方形所有內角都是直角，再由同角的余角相等，即可解題；
③由翻折得∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC∠FCP，∠PFC是鈍角，△PCF不一定是等腰三角形；
④當BP=AD或△BPC是等邊三角形時，△APB≌△FDA，即可解題.

①設EC，BP交于點G；
∵點P是點B關于直線EC的對稱點，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．
∵點E為AB中點，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．
∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；
∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，故①正確；
②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折疊得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．
∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正確；
③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．
∵∠PFC是鈍角，當△BPC是等邊三角形，即∠BCE=30°時，才有∠FPC=∠FCP，如右圖，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正確；
④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．
∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，當BP=AD或△BPC是等邊三角形時，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正確；
其中正確結論有①②，2個．
故選B．