Question

【題目】(本題12分)如圖1,在平面直角坐標系中，四邊形OABC各頂點的坐標分別O(0,0),A(3, )，B(9,5 )，C(14,0).動點P與Q同時從O點出發，運動時間為t秒，點P沿OC方向以1單位長度/秒的速度向點C運動，點Q沿折線OAABBC運動，在OA，AB，BC上運動的速度分別為3， ， (單位長度/秒)﹒當P,Q中的一點到達C點時，兩點同時停止運動．

（1）求AB所在直線的函數表達式.
（2）如圖2，當點Q在AB上運動時，求△CPQ的面積S關于t的函數表達式及S的最大值.
（3）在P,Q的運動過程中，若線段PQ的垂直平分線經過四邊形OABC的頂點，求相應的t值.

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（3，3 ），B（9，5 ）代入y=kx+b,

得 ;解得： ;

∴y= x+2 ;

（2）

解：在△PQC中，PC=14-t,PC邊上的高線長為 ;

∴

∴當t=5時，S有最大值；最大值為 .

（3）

解： a.當0＜t≤2時，線段PQ的中垂線經過點C（如圖1）；

可得方程

解得：,（舍去），此時t=.

b.當2＜t≤6時，線段PQ的中垂線經過點A（如圖2）

可得方程,

解得：;（舍去），此時；

c.當6＜t≤10時，

①線段PQ的中垂線經過點C（如圖3）

可得方程14-t=25-;

解得：t=.

②線段PQ的中垂線經過點B（如圖4）

可得方程;

解得,（舍去）；

此時；

綜上所述：t的值為，，，.

【解析】（1）用待定系數法求直線AB方程即可。
（2）根據三角形的面積公式得到關于t的二次三項式，再由二次函數圖像的性質求出S的最大值即可。
（3）根據t的值分情況討論，依題意列出不同的方程從而求出t的值。
【考點精析】利用確定一次函數的表達式和二次函數的最值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．