Question

【題目】(本題10分) 如圖1，將△ABC紙片沿中位線EH折疊，使點A的對稱點D落在BC邊上，再將紙片分別沿等腰△BED和等腰△DHC的底邊上的高線EF,HG折疊,折疊后的三個三角形拼合形成一個矩形.類似地，對多邊形進行折疊，若翻折后的圖形恰能拼合成一個無縫隙、無重疊的矩 形，這樣的矩形稱為疊合矩形.


（1）將□ABCD紙片按圖2的方式折疊成一個疊合矩形AEFG，則操作形成的折痕分別是線段 ， ；S矩形AEFG:S□ABCD=
（2）ABCD紙片還可以按圖3的方式折疊成一個疊合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的長.
（3）如圖4，四邊形ABCD紙片滿足AD∥BC,AD<BC,AB⊥BC，AB=8,CD=10.小明把該紙片折疊，得到疊合正方形.請你幫助畫出疊合正方形的示意圖，并求出AD,BC的長.

Answer 1

【答案】
（1）AE；GF；1:2
（2）

解：∵四邊形EFGH是疊合矩形，∠FEH=90°,EF=5,EH=12;

∴FH= = =13;

由折疊的軸對稱性可知：DH=NH,AH=HM,CF=FN;

易證△AEH≌△CGF;

∴CF=AH;

∴AD=DH+AH=HN+FN=FH=13.

（3）

解：本題有以下兩種基本折法，如圖1，圖2所示.

按圖1的折法，則AD=1，BC=7.

按圖2的折法，則AD=,BC=.

【解析】（1）由圖可以觀察出疊合的矩形是由AE和GF折疊而成，所以△ABE≌△AHE;四邊形AGFH≌四邊形DGFC;所以S矩形AEFG:S□ABCD=1：2.
【考點精析】認真審題，首先需要了解軸對稱的性質(關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線；兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上)，還要掌握翻折變換（折疊問題）(折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等)的相關知識才是答題的關鍵．