Question

【題目】某公司有A型產(chǎn)品40件，B型產(chǎn)品60件，分配給下屬甲、乙兩個(gè)商店銷售，其中70件給甲店，30件給乙店，且都能賣完．兩商店銷售這兩種產(chǎn)品每件的利潤(rùn)（元）如下表：

	A型利潤(rùn)（元/件）	B型利潤(rùn)（元/件）
甲店	180	150
乙店	120	110

（1）設(shè)分配給甲店A型產(chǎn)品x件，這家公司賣出這100件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為W（元），求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（2）若要求總利潤(rùn)超過14960元，有多少種不同分配方案？請(qǐng)列出具體方案；

（3）為了促銷，公司決定僅對(duì)甲店A型產(chǎn)品讓利銷售，每件讓利a元，但讓利后A型產(chǎn)品的每件利潤(rùn)仍高于甲店B型產(chǎn)品的每件利潤(rùn)，甲店的B型產(chǎn)品以及乙店的A，B型產(chǎn)品的每件利潤(rùn)不變，該公司如何設(shè)計(jì)分配方案，使總利潤(rùn)達(dá)到最大？

Answer 1

【答案】（1）W＝20x+14200， 10≤x≤40；（2）有兩種不同的分配方案：:①x＝39時(shí)，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件；②x＝40時(shí)，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件；（3）詳見解析.

【解析】

(1)根據(jù)題意得，甲店B型產(chǎn)品有（70﹣x）件，乙店A型有（40﹣x）件，B型有（x﹣10）件，，那么總利潤(rùn)等于每件相應(yīng)商品的利潤(rùn)×相應(yīng)件數(shù)之和；根據(jù)各個(gè)店面的商品的數(shù)量為非負(fù)數(shù)可得自變量的取值范圍；
(2)讓(1)中的代數(shù)式大于14960，結(jié)合(1)中自變量的取值可得相應(yīng)的分配方案；
(3)根據(jù)讓利后A型產(chǎn)品的每件利潤(rùn)仍高于甲店B型產(chǎn)品的每件利潤(rùn)可得a的取值，結(jié)合(1)得到相應(yīng)的總利潤(rùn)，根據(jù)a的不同取值得到利潤(rùn)的函數(shù)應(yīng)得到的最大值的方案即可．

解：（1）由題意得，甲店B型產(chǎn)品有（70﹣x）件，乙店A型有（40﹣x）件，B型有（x﹣10）件，

則W＝180x+150（70﹣x）+120（40﹣x）+110（x﹣10）＝20x+14200．

由，

解得10≤x≤40；

（2）由W＝20x+14200＞14960，

解得x＞38．

故38＜x≤40，x＝39，40．

則有兩種不同的分配方案．

①x＝39時(shí)，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件；

②x＝40時(shí)，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件；

（3）依題意：W＝（180﹣a）x+150（70﹣x）+120（40﹣x）+110（x﹣10）＝（20﹣a）x+14200．

①當(dāng)0＜a＜20時(shí)，20﹣a＞0，W隨x增大而增大，

∴x＝40，W有最大值，

即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使總利潤(rùn)達(dá)到最大；

②當(dāng)a＝20時(shí)，10≤x≤40，W＝16800，符合題意的各種方案，使總利潤(rùn)都一樣；

③當(dāng)20＜a＜30時(shí)，20﹣a＜0，W隨x增大而減小，

∴x＝10，W有最大值，

即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使總利潤(rùn)達(dá)到最大．