Question

【題目】綜合與實踐

正方形內“奇妙點”及性質探究

定義：如圖1，在正方形中，以為直徑作半圓，以為圓心，為半徑作，與半圓交于點.我們稱點為正方形的一個“奇妙點”．過奇妙點的多條線段與正方形無論是位置關系還是數量關系，都具有不少優美的性質值得探究．

性質探究：如圖2，連接并延長交于點，則為半圓的切線．

證明：連接．

由作圖可知，，

又．

，∴是半圓的切線．

問題解決：

（1）如圖3，在圖2的基礎上，連接.請判斷和的數量關系，并說明理由；

（2）在（1）的條件下，請直接寫出線段之間的數量關系；

（3）如圖4，已知點為正方形的一個“奇妙點”，點為的中點，連接并延長交于點，連接并延長交于點，請寫出和的數量關系，并說明理由；

（4）如圖5，已知點為正方形的四個“奇妙點”．連接，恰好得到一個特殊的“趙爽弦圖”．請根據圖形，探究并直接寫出一個不全等的幾何圖形面積之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2）；（3），理由見解析；（4）答案不唯一，如：的面積等于正方形的面積；正方形的面積等于正方形面積的等．

【解析】

（1）先提出猜想，在圖2以及上面結論的基礎上，根據全等三角形的性質、四邊形的內角和、鄰補角的性質可得出，再由邊邊邊定理可證得，然后利用全等三角形的性質、等式性質可得證結論；

（2）由（1）可知、，根據全等三角形的性質、線段的和差即可得到結論；

（3）先提出猜想，添加輔助線構造出直角三角形，由（1）可知，則其正切值相等，再根據正方形的性質即可得證結論；

（4）根據前面的結論結合趙爽弦圖可證得

，即可提出猜想．

解：（1）結論：

理由如下：

∵

∴，，

∴

∵

∴

在和中

∵，

∴

∴

∵

∴；

（2）∵由（1）可知，、

∴，

∵

∴

∴線段、、之間的數量關系是；

（3）結論：

理由：連接、，如圖：

由（1）可知，

∵

∴

∵點為的中點

∴

∴

∵四邊形是正方形

∴

∴；

（4）延長交于點，連接、，如圖：

∵由前面的結論可知

∴

∵此圖為趙爽弦圖即

∴

同理可得、、

∵四邊形是正方形

∴

∴

∴在和中，

∴

∴

∴

∴

∴答案不唯一，例如，的面積等于正方形的面積；正方形的面積等于正方形面積的等等．