Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H．

（1）求證：∠BEC=∠ADC；

（2）請你判斷并FE與FD之間的數量關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）相等.

【解析】試題分析：（1）AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，則可得∠DAC=∠DAB=15°

∠ACE= ∠ACB=45°，再由∠CDA=∠BAD+∠ABD，∠BEC=∠BAC+∠ECA，即可得；

（2）連接BF，根據角平分線的性質，可得FG=FH，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，求得∠GEF=75°=∠HDF，又由∠DHF=∠EHF=90°，利用AAS，即可證得△DHF≌△EGF，由全等三角形的對應邊相等，即可證得FE=FD．

試題解析：(1)∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，

∴∠DAC=∠DAB=∠BAC=15°

∠ACE=∠ACB=45°，

∴∠CDA=∠BAD+∠ABD=75°，∠BEC=∠BAC+∠ECA=75°，

∴∠BEC=∠ADC；

(2)相等，理由：如圖，連接BF，

∵F是角平分線交點，

∴BF也是角平分線，

∴HF=FG，∠DHF=∠EGF=90°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠DAC=12∠BAC=15°，

∴∠CDA=75°，

∵∠HFC=45°，∠HFG=120°，

∴∠GFE=15°，

∴∠GEF=75°=∠HDF，

在△DHF和△EGF中，

∠DHF=∠EGF，∠HDF=∠GEF，HF=GF，

∴△DHF≌△EGF(AAS)，

∴FE=FD.