Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別用a、b、c表示．

（1）如圖1，在△ABC中，∠A=2∠B，∠A=60°，求證：a²=b（b+c）；
（2）如果一個三角形的一個內角等于另一個內角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．（1）中的三角形是一個特殊的倍角三角形，那么對于任意一個倍角△ABC，且∠A=2∠B，關系式a²=b（b+c）是否仍然成立？請證明你的結論；
（3）在（2）中，若∠B=36°，b=1，直接填空：a=______，cos36°=______（若結果是無理數，請用無理數表示）．
（4）應用（3）的結論，解答下面問題：如圖2，一廠房屋頂人字架是等腰△ABC，其跨度BC=10m，∠B=∠C=36°，中柱AD⊥BC于D，則上弦AB的長是______m．（可能用到的數：≈2.24，≈2.45，≈2.65）

Answer 1

（1）證明：∵∠A=2∠B，∠A=60°
∴∠B=30°，∠C=90°
∴c=2b，a=b
∴a²=3b²=b（b+c）．

（2）解：關系式a²=b（b+c）仍然成立．
證明：∵∠A=2∠B
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠B
由正弦定理得===2R，
即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∴b（b+c）=2RsinB（2RsinB+2RsinC），
=4R²sinB[sinB+sin（180°-3∠B）]
=4R²sinB（sinB+sin3∠B）
=4R²sinB（2sin2BcosB）
=4R²sin2B×sin2B
=4R²sin²2B
又∵a²=4R²sin²A=4R²sin²2B
∴a²=b（b+c）
（3）如圖所示：

∵a²=b（b+c），a=c，b=1，
∴a=，
設AD=x，則BD=-x，
則AC²-AD²=BC²-BD²，即1-x²=（）²-（-x）²，
解得：x=，BD=-，
故cos36°==；

（4）由題意得，BD=BC=5m，
則AB===5（-1）≈6.2米．
分析：（1）根據已知可求得各角的度數，再根據三角函數求得各邊的關系，從而不難得到結論．
（2）根據已知表示各角的度數，再根據正弦定理對式子進行整理，從而得到結論；
（3）畫出圖形，根據a²=b（b+c），a=c，b=1，可求出a，繼而可得出cos36°的值．
（4）先求出BD，再由cos36°的值可得出AB．
點評：本題考查了勾股定理、解直角三角形及正弦定理的內容，綜合考察的知識點較多，難度較大，解答本題需要同學們能活學活用．