Question

4．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的頂點為（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），且經(jīng)過A（-2，0）
①求此二次函數(shù)的解析式，并直接寫出拋物線與y軸交點C坐標(biāo)；
②若點M在對稱軸上，N在拋物線上，使得以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，寫出所有滿足條件的M、N坐標(biāo)；
③已知一條直線y=$\frac{3}{4}$x-3與x軸交于E，與y軸交于F，若在該直線有點P，拋物線上有點Q，點G在x軸上，是否存在這樣的點Q，使得四邊形EPQG為菱形？若存在，求出點Q坐標(biāo)并寫出計算過程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$把A（-2，0）代入得a=1，即可解決問題．
（2）分兩種情形討論①當(dāng)四邊形MNCA是平行四邊形時，作NF⊥對稱軸于F．由△AOC≌△NFM，得到FN=MF=2，推出點N的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，推出N（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{4}$），推出M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）．當(dāng)四邊形AM₁CN₁是平行四邊形時，同法可求．
（3）如圖2中，大概四邊形EPQG為菱形時，連接EQ，延長EQ交y軸于D，作DM⊥EF于M．想辦法求出點D的坐標(biāo)，求出直線ED的解析式，利用方程組即可求出點Q坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的頂點為（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
∴可以假設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$
把A（-2，0）代入得a=1，
∴二次函數(shù)的解析式為y=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，即y=x²+x-2，
令x=0得y=-2，
∴C（0，-2）．

（2）如圖1中，

①當(dāng)四邊形MNCA是平行四邊形時，作NF⊥對稱軸于F．
由△AOC≌△NFM，得到FN=MF=2，
∴點N的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，
∴N（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{4}$），
∴M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$），
②當(dāng)四邊形AM₁CN₁是平行四邊形時，同法可得N（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$），M（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$）．

（3）如圖2中，大概四邊形EPQG為菱形時，連接EQ，延長EQ交y軸于D，作DM⊥EF于M．

∵四邊形EPQG為菱形，
∴∠DEO=∠DEM，∵DO⊥EO，DM⊥EM，
∴DO=DM，∵ED=ED，
∴Rt△EDO≌Rt△EDM，
∴EO=EM，
∵E（4，0），F(xiàn)（0，-3），
∴OE=4，OF=3，EF=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴EO=EM=4，F(xiàn)M=1，設(shè)DO=DM=x，
在Rt△DMF中，∵DM²+FM²=DF²，
∴（3-x）²=x²+1²，
∴x=$\frac{4}{3}$，
∴D（0，-$\frac{4}{3}$），
∴直線DE的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+x-2}\\{y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{7}}{3}}\\{y=\frac{-13+\sqrt{7}}{9}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{7}}{3}}\\{y=\frac{-13-\sqrt{7}}{9}}\end{array}\right.$，
∵點Q在第四象限，
∴Q（$\frac{-1+\sqrt{7}}{3}$，$\frac{-13+\sqrt{7}}{9}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識，學(xué)會添加輔助線．構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組求兩個函數(shù)的交點坐標(biāo)，屬于中考壓軸題．