Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，請探究：
（1）求證：△DFE是等腰直角三角形；
（2）四邊形CEDF的面積是否發生變化？若不變化，請求出面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接CD，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB，

∵AE=CF，

在△ADE與△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF，

∴DE=DF，∠CDF=∠ADE，

∵∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠CDF+∠CDE=∠EDF=90°，

∴DE⊥DF，

∴△DFE是等腰直角三角形；

（2）解：四邊形CEDF的面積不發生變化．

理由：∵△ADE≌△CDF，

∴S△CDF=S△ADE

∴S四邊形CEFD=S△ADC．

∴四邊形CEDF的面積是為定值，

∴四邊形CEDF的面積為 × ×4×4=4

【解析】（1）連接CD，由SAS定理可證△CDF和△ADE全等，從而可證∠EDF=90°，DF=DE．所以△DEF是等腰直角三角形；（2）由割補法可知四邊形CDFE的面積保持不變，利用三角形的面積公式求出答案．
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形的相關知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°才能正確解答此題．