Question

已知直線y=2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M成中心對(duì)稱，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．
（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；
（2）將這條直線平移，使它與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，如果BC∥AD，請(qǐng)求出平移的方向和距離；
（3）在第（2）小題的條件下，聯(lián)結(jié)AC和BD，它們相交于點(diǎn)N，求△BCN的面積．

Answer 1

解：（1）把x=0代入y=2x+2得y=2；把y=0代入y=2x+2得2x+2=0，解得x=-1，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M成中心對(duì)稱，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
把B（1，4）代入得k=1×4=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=；

（2）如圖，作BE⊥x軸于E，分別過(guò)C、D點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，它們相交于F點(diǎn)，
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=DC，
易證得Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴DF=AE=2，CF=BE=4，
∴C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
把x=2代入y=得y=2，
∴OD=4-2=2，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
∴直線AB向下平移4個(gè)單位得到BC；

（3）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴△BCN的面積=平行四邊形ABCD的面積，
∵S_△ABD=S_△ADM+S_△BDM=×1×4+×1×4=4，
∴△BCN的面積=×2×4=2．
分析：（1）先確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），再根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），然后運(yùn)用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式；
（2）作BE⊥x軸于E，分別過(guò)C、D點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，它們相交于F點(diǎn)，由于AB∥DC，AD∥BC，可判斷四邊形ABCD為平行四邊形，則AB=DC，易證得Rt△ABE≌Rt△DCF，
得到DF=AE=2，CF=BE=4，即C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，然后根據(jù)反比例函數(shù)解析式確定C點(diǎn)坐標(biāo)，則OD=2，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），所以直線AB向下平移4個(gè)單位得到BC；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得△BCN的面積=平行四邊形ABCD的面積，然后計(jì)算S_△ABD=S_△ADM+S_△BDM=4，則△BCN的面積=×2×4=2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形的判定與性質(zhì)．