Question

【題目】如圖1，拋物線y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）與x軸交于A，B兩點（點B在點A右側）．與y軸交點C，與直線l：y＝x+1交于D、E兩點，

（1）當m＝1時，連接BC，求∠OBC的度數；

（2）在（1）的條件下，連接DB、EB，是否存在拋物線在第四象限上一點P，使得S△DBE＝S△DPE？若存在，求出此時P點坐標及PB的長度；若不存在，請說明理由；

（3）若以DE為直徑的圓恰好與x軸相切，求此時m的值．

Answer 1

【答案】（1）∠OBC＝45°；（2）存在，P（2，﹣1），BP=；（3）m＝ 或﹣．

【解析】

（1）拋物線y=mx2-4mx+3m=m（x2-4x+3）=m（x-1）（x-3），把當m=1代入即可求解；

（2）S△DBE=S△DPE，∴點B、點P到直線DE的距離相等即可求解；

（3）求出DE的中點坐標為（，），即DE的長度，則圓的半徑=DE，利用=DE，即可求解．

（1）∵拋物線y＝mx2﹣4mx+3m＝m（x2﹣4x+3）＝m（x﹣1）（x﹣3），

∴A（1，0），B（3，0），

∴OB＝3，

當m＝1時，拋物線解析式為y＝x2﹣4x+3，

∴C（0，3），∴OC＝3，

∴OB＝OC，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，

∴∠OBC＝45°；

（2）∵S△DBE＝S△DPE，

∴點B、點P到直線DE的距離相等，即可求解，

∴BP∥DE，

由（1）知，B（3，0），

∵直線DE的解析式為y＝x+1，

∴直線BP的解析式為y＝x﹣3①，

∵拋物線解析式為y＝x2﹣4x+3②，

聯立①②解得，或（點B的坐標，舍去），

∴P（2，﹣1），

∵B（3，0），

∴BP＝＝；

（3）∵點D，E在直線y＝x+1上，

∴設D（x1，y1），E（x2，y2），

∵拋物線y＝mx2﹣4mx+3m…③，

直線l：y＝x+1…④，

聯立③④得，mx2﹣4mx+3m＝x+1，

∴mx2﹣（4m+1）x+（3m﹣1）＝0，

∴x1+x2＝，x1x2＝，

∴y1+y2＝x1+x2+2＝，

∴DE的中點坐標為（，），

DE＝＝＝＝，

∵以DE為直徑的圓恰好與x軸相切，

∴圓的半徑＝DE，

則：＝ ，

整理得：28m2﹣12m﹣1＝0，

解得：m＝或﹣．