Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連結DE并延長，與BC的延長線交于點F．

（1）求證：BD=BF；

（2）若BC=6，AD=4，求sinA的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析; （2）.

【解析】試題分析：（1）連接OE，由AC為圓O的切線，利用切線的性質得到OE⊥AC，再由BC⊥AC，得到OE∥BC，根據平行線的性質可得∠OED=∠F，又因OD= OE，根據等腰三角形的性質可得∠ODE=∠OED ，所以∠ODE=∠F ，即可得BD=BF；（2）設⊙O的半徑為r，由OE∥BC可得△AOE∽△ABC ，根據相似三角形的性質求得半徑r的長，在Rt△AOE中即可求得sin∠A的值.

試題解析：

（1）證明：如圖，連接OE

∵AC切⊙O于E

∴OE⊥AC

又∵∠ACB=90°

∴OE∥BC

∴∠OED=∠F

又OD= OE

∴∠ODE=∠OED

∴∠ODE=∠F

∴BD=BF

（2）解：設⊙O的半徑為r

由OE∥BC

∴△AOE∽△ABC

∴即

解得：r=4，r=-3（舍）

在Rt△AOE中，∴sin∠A=