Question

如圖1，點A是線段BC上一點，△ABD和△ACE都是等邊三角形．
（1）連結BE，CD，求證：BE=CD；
（2）如圖2，將△ABD繞點A順時針旋轉得到△AB′D′．
①當旋轉角為______度時，邊AD′落在AE上；
②在①的條件下，延長DD’交CE于點P，連接BD′，CD′．當線段AB、AC滿足什么數量關系時，△BDD′與△CPD′全等？并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等邊三角形的性質可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“邊角邊”證明△BAE和△DAC全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）①求出∠DAE，即可得到旋轉角度數；
②當AC=2AB時，△BDD′與△CPD′全等．根據旋轉的性質可得AB=BD=DD′=AD′，然后得到四邊形ABDD′是菱形，根據菱形的對角線平分一組對角可得∠ABD′=∠DBD′=30°，菱形的對邊平行可得DP∥BC，根據等邊三角形的性質求出AC=AE，∠ACE=60°，然后根據等腰三角形三線合一的性質求出∠PCD′=∠ACD′=30°，從而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角邊角”證明△BDD′與△CPD′全等．
解答：（1）證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形．
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE=CD；

（2）解：①∵∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAE=180°-60°×2=60°，
∵邊AD′落在AE上，
∴旋轉角=∠DAE=60°；
②當AC=2AB時，△BDD′與△CPD′全等．
理由如下：由旋轉可知，AB′與AD重合，
∴AB=BD=DD′=AD′，
∴四邊形ABDD′是菱形，
∴∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=×60°=30°，DP∥BC，
∵△ACE是等邊三角形，
∴AC=AE，∠ACE=60°，
∵AC=2AB，
∴AE=2AD′，
∴∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°，
又∵DP∥BC，
∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°，
在△BDD′與△CPD′中，
，
∴△BDD′≌△CPD′（ASA）．
故答案為：60．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，以及旋轉的性質，綜合性較強，但難度不大，熟練掌握等邊三角形的性質與全等三角形的判定時提到過．