Question

如圖，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=16cm，動點E、F分別從A點、C點同時出發，均以2cm/s的速度分別沿AD向D點和沿CB向B點運動。

（1）經過幾秒首次可使EF⊥AC？
（2）若EF⊥AC，在線段AC上，是否存在一點P，使？若存在，請說明P點的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設經過x秒首次可使EF⊥AC，AC與EF相交于點O，

則AE=2x，CF=2x。
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠EAO=∠FCO，∠AOE=∠COF。
∴△AOE≌△COF（AAS）。∴AO=OC，OE=OF。
∵AB=12cm，AD=16cm，
∴根據勾股定理得AC=20cm。∴OC=10cm。
在Rt△OFC中，，∴。
過點E作EF⊥BC交BC于點H，
在Rt△EFN中,，∴。
解得。
∴經過秒首次可使EF⊥AC。
（2）過點E作EP⊥AD交AC于點P，則P就是所求的點。證明如下：
由作法，∠AEP=90⁰，
又EF⊥AC，即∠AOE=90⁰。∴△AEP∽△AOE。
∴，即。
∴。

（1）設經過x秒首次可使EF⊥AC，AC與EF相交于點O，過點E作EF⊥BC交BC于點H，由AAS證明△AOE≌△COF，得到AO=OC，OE=OF，從而求得OC=10cm，在Rt△OFC中，由勾股定理得。因此，在Rt△EFN中, 由勾股定理得，即，解出即可。
（2）證明△AEP∽△AOE即可得出結論。