Question

（2005•武漢）已知：如圖，直線交x軸于O₁，交y軸于O₂，⊙O₂與x軸相切于O點，交直線O₁O₂于P點，以O₁為圓心，O₁P為半徑的圓交x軸于A、B兩點，PB交⊙O₂于點F，⊙O₁的弦BE=BO，EF的延長線交AB于D，連接PA、PO．
（1）求證：∠APO=∠BPO；
（2）求證：EF是⊙O₂的切線；
（3）EO₁的延長線交⊙O₁于C點，若G為BC上一動點，以O₁G為直徑作⊙O₃交O₁C于點M，交O₁B于N．下列結論：①O₁M•O₁N為定值；②線段MN的長度不變．只有一個是正確的，請你判斷出正確的結論，并證明正確的結論，以及求出它的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過度數來求兩角相等．連接O₂F，那么∠O₂PF=∠O₂FP=∠OBP，因此O₂F∥AB，這樣可得出圓O₂的圓心角∠OO₂F=90°．因此∠OPF=45°，那么∠APO=90°-45°=45°，因此兩角相等．
（2）由于（1）中得出了O₂F∥AB，因此只要證得DE⊥AB，就能得出DE⊥O₂F，也就得出了DE是圓O₂的切線的結論，那么關鍵是證明DE⊥AB．可通過垂徑定理來求．延長ED交⊙O₁于點H，那么就要求出DE=DH或BE=BH，那么就要先求出∠BEH=∠BHE．連接PE，那么∠BHE=∠EPB，那么證∠EPB=∠DEB即可．可通過相似三角形BEF和BPE來求得，這兩個三角形中，已知了一個公共角，我們再看夾這個角的兩組對邊是否成比例．由于BO²=BF•BP，而BO=BE，因此BE²=BF•BP，由此可得出兩三角形相似，進而可根據前面分析的步驟得出本題的結論．
（3）MN的長度不變．這是因為點G是BC上的一個動點，但的O₁C長度是不變的，它等于⊙的半徑8，另外∠BO₁C的大小也是始終不變的，因為所有的⊙O₃都是等圓，故弧MGN也都是相等的，故弦MN都是相等的，求MN的長，可通過構建全等三角形來求解，過N作⊙O₃的直徑NK，連接MK，那么三角形NKM和EDO₁全等，那么只要求出DE的長即可，根據直線的解析式，可得出O₁，O₂的坐標，也就求出了OO₁，OO₂的值，也就能得出圓O₁的半徑的長，進而可求出AD，BD的長然后根據DE²=AD•DB即可得出MN的值．
解答：解：（1）連接O₂F．
∵O₂P=O₂F，O₁P=O₁B，
∴∠O₂PF=∠O₂FP，∠O₁PB=∠O₁BP，
∴∠O₂FP=∠O₁BP．
∴O₂F∥O₁B，
得∠OO₂F=90°，
∴∠OPB=∠OO₂F=45°．
又∵AB為直徑，
∴∠APB=90°，
∴∠APO=∠BPO=45°．

（2）延長ED交⊙O₁于點H，連接PE．
∵BO為切線，
∴BO²=BF•BP．
又∵BE=BO，
∴BE²=BF•BP．
而∠PBE=∠EBF，
∴△PBE∽△EBF，
∴∠BEF=∠BPE，
∴BE=BH，有AB⊥ED．
又由（1）知O₂F∥O₁B，
∴O₂F⊥DE，
∴EF為⊙O₂的切線．

（3）MN的長度不變．
過N作⊙O₃的直徑NK，連接MK．則∠K=∠MO₁N=∠EO₁D，
且∠NMK=∠EDO₁=90°，
又∵NK=O₁E，
∴△NKM≌△EDO₁，
∴MN=ED．
而OO₁=4，OO₂=3，
∴O₁O₂=5，
∴O₁A=8．即AB=16，
∵EF與圓O₂相切，
∴O₂F⊥ED，
則四邊形OO2FD為矩形，
∴O₂F=OD，又圓O₂的半徑O₂F=3，
∴OD=3，
∴AD=7，BD=9．
ED²=AD•BD，
∴ED=3．
故MN的長度不會發生變化，其長度為．
點評：本題主要考查了圓與圓的位置關系，全等三角形，相似三角形的判定和性質以及一次函數等知識點的綜合應用．圖中邊和角較多，因此搞清楚圖中邊和角的關系是解題的關鍵．