Question

（2005•武漢）已知拋物線y=-x²+（m-2）x+3（m+1）交x軸于A（x₁，0），B（x₂，0），交y軸的正半軸于C點，且x₁＜x₂，|x₁|＞|x₂|，OA²+OB²=2OC+1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在與拋物線只有一個公共點C的直線．如果存在，求符合條件的直線的表達式；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知x₁＜x₂，|x₁|＞|x₂|，很顯然，x₁＜0，x₂＞0，因此OA=-x₁，OB=x₂，然后根據OA²+OB²=2OC+1，以及一元二次方程根與系數的關系即可求出m的值．也就可得出函數的解析式．
（2）可根據拋物線的解析式求出C點的坐標，然后分兩種情況進行討論：
①過C的直線與y軸平行（或與x軸垂直），那么此時直線與拋物線只有一個交點．
②如果直線不與y軸平行，可根據C點坐標，設出直線的解析式，然后聯立拋物線的解析式可得出一個關于x的一元二次方程，因為兩函數只有一個交點，因此方程的△=0，由此可求出直線的解析式．
解答：解：（1）由條件知AO=|x₁|=-x₁，OB=|x₂|=x₂，OC=3（m+1），
∵OA²+OB²=2OC+1，x₁²+x₂²=6（m+1）+1，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=6（m+1）+1，
即（m-2）²+6（m+1）=6（m+1）+1，
得：m₁=3，m₂=1，
∵x₁＜x₂，|x₁|＞|x₂|，
∴x₁＜x₂=m-2＜0，
∴m=1．
∴函數的解析式為y=-x²-x+6

（2）存在與拋物線只有一個公共點C的直線．
C點的坐標為（0，6），
①當直線過C（0，6）且與x軸垂直時，直線也拋物線只有一個公共點，
∴直線x=0．
②過C點的直線y=kx+6，與拋物線y=x²-x+6只有一個公共點C，
即，只有一個實數解．
∴x²-（k+1）x=0，
又∵△=0，
∴（k+1）²=0，
∴k=-1，
∴y=-x+6．
∴符合條件的直線的表達式為y=-x+6或x=0．
點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系、二次函數解析式的確定以及函數圖象交點等知識．