Question

【題目】定義：在平行四邊形中，若有一條對角線是一邊的兩倍，則稱這個平行四邊形為兩倍四邊形，其中這條對角線叫做兩倍對角線，這條邊叫做兩倍邊．

如圖1，四邊形是平行四邊形， ，延長交于點，連結交于點，， ．

（1）若，如圖2．

①當時，試說明四邊形是兩倍四邊形；

②是否存在值，使得四邊形是兩倍四邊形，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；

（2）如圖1，四邊形與四邊形都是兩倍四邊形，其中與為兩倍對角線，與為兩倍邊，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②存在，的值為或；（2）．

【解析】

（1）①證明四邊形是平行四邊形，，即可得到結論；

②當AC=2CD時，四邊形ABCD是兩倍四邊形，此時 AD=BC=；當AC=2AD時，四邊形ABCD是兩倍四邊形，由勾股定理得出方程m2+12=（2m）2，解方程即可；
（2）由兩邊四邊形的定義得出AD=DG，得出∠DAG=∠AGD，同理AC=AF，得出∠ACF=∠AFC，證出∠ADG=∠CAF，，得出△ADB∽△ACE，由AB=CE，得出△ADB≌△ACE，由全等三角形的性質得出AC=AD，作DM⊥AC于M，設AM=x，則AC=AD=4x，由勾股定理得：DM=，CD=，由CD=AB=1得出方程，解方程即可．

（1）①證明：∵四邊形是平行四邊形，

∴AB∥CD，BC=AD=2，

∵，AB∥CE，

∴四邊形是平行四邊形，，

四邊形是兩倍四邊形；

②存在，理由如下：

當AC=2AB時，則AC=2，

∵，

∴,

∴m=AD=BC=；

當AC=2AD時，則AC=2m，

∴，

解得m=或m=-（舍去），

∴的值為或時，四邊形是兩倍四邊形；

（2）∵四邊形ABCD是兩倍四邊形，BD為兩倍對角線，AD為兩倍邊，
∴AD=DG，
∴∠DAG=∠AGD，
∵四邊形ABEC是兩倍四邊形，AE為兩倍對角線，AC為兩倍邊，
∴AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC，
又∵∠DAG=∠ACF，
∴∠DAG=∠AGD=∠ACF=∠AFC，
∴∠ADG=∠CAF，
又∵，，

∴，

∴△ADB∽△ACE，
又∵AB=CE，
∴相似比為1，
∴△ADB≌△ACE，
∴AC=AD，
作DM⊥AC于M，如圖1，
設AM=x，則AC=AD=4x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM=，

在Rt△DMC中，由勾股定理得：CD=，

∵CD=AB=1，
∴ =1，
∴x=，

∴AD=4x=，

即．