Question

（2013•青島）某商場要經營一種新上市的文具，進價為20元/件．試營銷階段發現：當銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．
（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；
（2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大；
（3）商場的營銷部結合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案：
方案A：該文具的銷售單價高于進價且不超過30元；
方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元
請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據利潤=（單價-進價）×銷售量，列出函數關系式即可；
（2）根據（1）式列出的函數關系式，運用配方法求最大值；
（3）分別求出方案A、B中x的取值范圍，然后分別求出A、B方案的最大利潤，然后進行比較．

解答：解：（1）由題意得，銷售量=250-10（x-25）=-10x+500，
則w=（x-20）（-10x+500）
=-10x²+700x-10000；

（2）w=-10x²+700x-10000=-10（x-35）²+2250．
∵-10＜0，
∴函數圖象開口向下，w有最大值，
當x=35時，w_max=2250，
故當單價為35元時，該文具每天的利潤最大；

（3）A方案利潤高．理由如下：
A方案中：20＜x≤30，
故當x=30時，w有最大值，
此時w_A=2000；
B方案中：

-10x+500≥10 x-20≥25

，
故x的取值范圍為：45≤x≤49，
∵函數w=-10（x-35）²+2250，對稱軸為直線x=35，
∴當x=45時，w有最大值，
此時w_B=1250，
∵w_A＞w_B，
∴A方案利潤更高．

點評：本題考查了二次函數的應用，難度較大，最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優方案．其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值不一定在x=-

b

2a

時取得．