Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，連接BC交拋物線的對稱軸于點E，D是拋物線的頂點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）直接寫出點C和點D的坐標；

（3）若點P在第一象限內的拋物線上，且S△ABP＝4S△COE，求P點坐標；

（4）在平面內，是否存在點M使點A、B、C、M構成平行四邊形，如果存在，直接寫出M坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）C（0，3），D（1，4）；（3）P（2，3）；（4）存在，點M的坐標為（2，﹣3）或（4，3）或（﹣4，3）．

【解析】

（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數b、c的值，可求解；

（2）令x＝0，可得C點坐標，將函數解析式配方即得拋物線的頂點C的坐標；

（3）設P（x，y）（x＞0，y＞0），根據題意列出方程即可求得y，即得P點坐標；

（4）分三種情況討論，利用平行四邊形的性質及中點坐標公式可求解．

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）令x＝0，則y＝3，

∴C（0，3），

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）；

（3）設P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE以OC為底，點E到y軸的距離為高，由（2）知，點E在對稱軸x=1上，S△ABP以AB為底，點P到x軸的距離為高，

則S△COE＝×1×3＝，S△ABP＝×4y＝2y，

∵S△ABP＝4S△COE，

∴2y＝4×，

∴y＝3，

∴﹣x2+2x+3＝3，

解得：x1＝0（不合題意，舍去），x2＝2，

∴P（2，3）；

（4）存在，點M的坐標為（2，﹣3）或（4，3）或（﹣4，3）．

理由如下：

設點M（m，n），A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，3），

若AB為對角線，AB的中點坐標和CM的中點坐標相同，

則，，

∴m＝2，n＝﹣3，

∴點M（2，﹣3）；

若BC為對角線，則，，

∴m＝4，n＝3，

∴點M（4，3）；

若AC為對角線，則，，

∴m＝﹣4，n＝3，

∴點M（﹣4，3）；

綜上所述：點M的坐標為（2，﹣3）或（4，3）或（﹣4，3）．