Question

【題目】如圖1，二次函數y=ax2+bx+3 經過點A（3，0），G（﹣1，0）兩點．

（1）求這個二次函數的解析式；
（2）若點M時拋物線在第一象限圖象上的一點，求△ABM面積的最大值；
（3）拋物線的對稱軸交x軸于點P，過點E（0， ）作x軸的平行線，交AB于點F，是否存在著點Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：將A、G點坐標代入函數解析式，得

，

解得 ，

拋物線的解析式為y=﹣ x2+2 x+3

（2）解：作ME⊥x軸交AB于E點，如圖1

，

當x=0時，y=3 ，即B點坐標為（0，3 ）

直線AB的解析式為y=﹣ x+3 ，

設M（n，﹣ n2+2 n+3 ），E（n，﹣ n+3 ），

ME═﹣ n2+2 n+3 ﹣（﹣ n+3 ）=﹣ n2+5 n，

S△ABM= MExA= （﹣ n2+5 n）×3=﹣ （n﹣ ）2+ ，

當n= 時，△ABM面積的最大值是

（3）解：存在；理由如下：

OE= ，AP=2，OP=1，BE=3 ﹣ = ，

當y= 時，﹣ x+3 = ，解得x= ，即EF=

將△BEP繞點E順時針方向旋轉90°，得到△B'EC（如圖3），

∵OB⊥EF，

∴點B'在直線EF上，

∵C點橫坐標絕對值等于EO長度，C點縱坐標絕對值等于EO﹣PO長度，

∴C點坐標為（﹣ ， ﹣1），

過F作FQ∥B'C，交EC于點Q，

則△FEQ∽△B'EC，

由 = = = ，

可得Q的坐標為（﹣ ，﹣ ）；

根據對稱性可得，Q關于直線EF的對稱點Q'（﹣ ， ）也符合條件．

【解析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式；（2）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得ME的長，根據三角形的面積，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案．（3）即可確定△BEP，根據相似三角形的判定定理即可求得點Q的坐標，解題時要注意答案的不唯一性．