Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+3x+c（a＜0）與x軸交于點A和點B（點A在原點的左側，點B在原點的右側），與y軸交于點C，OB=OC=4．
（1）求該拋物線的函數解析式．
（2）如圖1，連接BC，點D是直線BC上方拋物線上的點，連接OD，CD．OD交BC于點F，當S△COF：S△CDF=4：3時，求點D的坐標．
（3）如圖2，點E的坐標為（0，-2），點P是拋物線上的點，連接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在點P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，請直接寫出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D的坐標為（1，6）或（3，4）；（3）（）、（）、（-）、（-）．

【解析】

（1）先根據OB=OC=4．可求得點B、C的坐標，代入y=ax2+3x+c即可求得拋物線解析式；
（2）先運用待定系數法求直線BC解析式，再根據S△COF：S△CDF=4：3，可求得點D、F的橫坐標數量關系，根據點F在直線BC上即可表示點F坐標，再運用待定系數法求得直線OF解析式，根據點D在直線OF上即可表示出D的坐標，代入拋物線解析式即可求得點D的坐標；
（3）分四種情況：①當∠PEB=2∠OBE，且點P在x軸上方時，先要構造∠EFO=2∠OBE，可得tan∠OFE=，再利用解直角三角形知識和解方程組即可求得點P坐標；②當∠PEB=2∠OBE，且點P在x軸下方時，③當∠PBE=2∠OBE，且點P在x軸上方時，④當∠PBE=2∠OBE，且點P在x軸下方時；方法相似．

解：（1）∵OB=OC=4，
∴B（4，0），C（0，4），

把B（4，0），C（0，4）代入y=ax2+3x+c，得，解得
∴拋物線的函數解析式為y=-x2+3x+4；
（2）如圖1，設直線BC解析式為y=kx+b，則 ，解得
∴直線BC解析式為y=-x+4，
令點D、F的橫坐標分別為xD，xF，
∵S△COF：S△CDF=4：3，
∴S△COF=S△COD，即OCxF=×OCxD，
∴xD=xF，
設點D橫坐標為7t，點F橫坐標為4t，∵點F在直線BC上，
∴F（4t，4-4t），
設直線OF解析式為y=k′x，則4-4t=4tk′，
∴k′=，
∴直線OF解析式為y=x，
∵點D在直線OF上，
∴D（7t，7-7t），
將D（7t，7-7t）代入y=-x2+3x+4中，得7-7t=-（7t）2+3×7t+4，解得：t1=，t2=，

∴D的坐標為（1，6）或（3，4）；
（3）①當∠PEB=2∠OBE，且點P在x軸上方時，如圖2，作BE的垂直平分線交OB于F，連接EF，
在∠BEO內部作射線EP交x軸于G，交拋物線于P，使∠PEB=∠EFO，
過點G作GH⊥BE于H，則BF=EF，設BF=EF=m，
∴OF=OB-BF=4-m
在Rt△OEF中，∠EOF=90°，∵OE2+OF2=EF2
∴22+（4-m）2=m2，解得：m=，
∴BF=EF=，OF=4-=，
∴tan∠OBE=，tan∠OFE= ，
∵BF=EF
∴∠BEF=∠OBE
∵∠OFE=∠BEF+∠OBE
∴∠OFE=2∠OBE
∵∠PEB=2∠OBE
∴∠PEB=∠OFE
∴tan∠PEB=，設GH=4a，則EH=3a，
∴BE=，BH=2-3a
∵=tan∠∠OBE=，
∴ ，解得：a= ，
∴GH= ，BH=
∴BG=
∴OG=OB-BG=4-=，
∴G（，0），
設直線EG解析式為y=k″x+b″，則 ，解得，
∴直線EG解析式為y=x-2，
聯立方程組 ，解得： （舍去），，

∴P（），
②當∠PEB=2∠OBE，且點P在x軸下方時，如圖3，過點E作EF⊥y軸，作點B關于直線EF的對稱點G，連接BG交EF于F，
射線EG交拋物線于點P，
∵E（0，-2），
∴直線EF為：y=-2
∵B（4，0），
∴G（4，-4）
∴直線EG解析式為y=-x-2，
解方程組，得 ， （不符合題意，舍去），
∴P（ ）；
③當∠PBE=2∠OBE，且點P在x軸上方時，如圖4，

在y軸正半軸上截取OF=OE=2，作射線BF交拋物線于P，
在△BOE和△BOF中，
∴△BOE≌△BOF（SAS）
∴∠PBO=∠OBE
∴∠PBE=2∠OBE
易求得直線PF解析式為y=-x+2，
聯立方程組 ，解得 （不符合題意，舍去）， ，
∴P（-）；
④當∠PBE=2∠OBE，且點P在x軸下方時，如圖5，

過點E作EF⊥BE交直線BP于F，過F作FG⊥y軸于G，
由①知：tan∠PBE= ，BE=2
∴EF=
∵∠EGF=∠BOE=∠BEF=90°
∴∠BEO+∠FEG=∠BEO+OBE=90°
∴∠FEG=∠OBE
∴△EFG∽△BEO
∴ ，即
∴FG=，EG=
∴OG=OE+EG=2+=
∴F（，-）
易求得直線BF解析式為y=x-22，
聯立方程組 ，解得（舍去）， ，
∴P（-）；
綜上所述，符合條件的點P的坐標為：（）、（）、（-）、（-）．